『 6÷2(1+2)=? 』引發討論的「錯誤命題」

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最近臉書功能中,增加了「民調問答」項目,其中有個算術題目『 6÷2(1+2)=? 』,引發眾多討論,吸引超過300萬網友計算,而題目中兩個答案「1」和「9」的比例不相上下,各有其支持者。本來這問題只是小Case一則,但在媒體「天才」們的加持下,這個問題被大大的渲染了一番。

答案到底是1還是9?前師大附中數學教師胡天爵表示,造成這樣的疑問,原因根本就是「命題錯誤」。外傳此問題為「高等數學」的題目,胡天爵直斥為無稽,他分析這僅是小學五年級的題目,何來「高等」?「大學數學系讀的,多為文字符號,少有數字。」

胡天爵分析,這個問題最大的狀況,是出在「括號」和「2」之間的乘號X,到底是否可以省略。「這題2(1+2)的小括號是要打破2x1+2中2x1「先算法則」(先乘除,後加減),原來2與1中間有乘號x,怎可因為括號出現後去掉呢 ?」

他說如果2與(1+2)的中間是應該有運算符號乘號X,這X不應該省略不寫,「乘號省略是因為代表數符號出現後才有的,」胡天爵舉例,在代數中,6乘以X記為6xX,但因為乘號x與文字X容易混淆,所以用黑點「‧」來替代乘號x,寫成6‧X,也可將「‧」省略,記成 6X。

但沒有了這個乘號,整個題目就被誤會了。

胡天爵說,這個題目,會被人誤會為「6÷2x(1+2)=?」或是「6÷[2x(1+2)]=?」,其主因在於缺乏乘號x的2(1+2)很容易被當成一個數,「於是算式就變成後面那個有中括號的題目。」

「如果題目改為『6÷2x(1+2)=?』,解法是由左而右順序運算,答案是3x(1+2)=9;如果題目改為『6÷[2x(1+2)]=?』,解法是由小括號內(1+2)=3運算先做,再做中括號內[2 x(1+2)]=6,答案是6÷6 =1。」胡天爵認為,這題不該拿來問,「因為題目本身有問題!」他說「6÷2x(1+2)=?」才是正確題目,答案 9 是正確題目的正確答案。

至於外傳這個題目是來自於按計算機所做出來的問題,胡天爵認為,基本上應該來自於工程式計算器(Engineering Calculator)的運算邏輯,在計算器上按式子6÷2(1+2)=? ,除了?不按=用Enter表示,其他都是用指按一次鍵。

他表示,這個題目其實在早期數學課本裡就有類似的想像。他曾經在1973到1975年被徵召到師大科學教育中心,編寫75年版國中數學課本,「我們首將計算器(calculator)用法編入國中數學選修教材,這時我們才去了解「計算器」內部設定的「演算法則」(Algorithms)。」跟當時computerIO交換碼一樣是戰國時代,胡天爵說,由於不同牌子的計算器有不同的設定方式,「又因calculator是用0與1的Machine code寫演算程式,不同按法會產生不同答案。」這種題目,答案明明是1,但在計算器上就可能用「.999999」表示,「還有溢位(overflow)等各種不可思議的問題。」

在當時,由於micro ccomputer才萌芽,這些差異都得靠符合機器Algorithms的「按鍵規則」來排除,「所以這題如果用當年的計算機,那得到答案不只有9和1,還會有8.9999...也不意外。」

最後,胡天爵指出,數學與現今的科技相同,都是用來解決麻煩的問題,而不是用錯的表示法來製造麻煩,「對數學而言,因不同時候就得做不同解釋。」他舉例,在小學你說1+1=2是當然,但是在大學甄選第二階段口試,交大資工系及交大應數系都曾問過「1+1=2。為何不是3?」

這種問題,99%的學生不會回答,其實都在定義的問題,「數學定義奇數,小學是1,3,5......,如果遇到突變怎辦?但在國中就得先定義偶數,要定義偶數,要先定義倍數或整除,這些都是數學邏輯問題。」胡天爵強調,這樣的問題才是發學生思考的本能,「拿一個似是而非的問題難倒學生,絕對不是一個教數學的人會做的。」

 

(全文閱讀同步刊載於解決問題還是製造麻煩?)

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oliver101

你的作品言之鑿鑿, 令人印象深刻.

2

加入時間: 2011.03.28

Gershwin

加入時間: 2011.03.28
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